\chapter{Введение}

Рассмотрим некоторый объект, состояние которого в каждый момент времени описывает набор чисел $ x =(x_1,x_2,\ldots,x_n)^{T}$; пусть мы можем управлять этим объектом, т.\,е. выбирать некоторый параметр, так или иначе влияющий на состояние объекта. Пусть поведение объекта описывается некоторыми уравнениями, например,
\begin{equation*} x^{k+1} = f(k,x^k,u^k),\end{equation*}
где $k$ --- целое число (дискретное время), $u^k$ --- параметр (управление), которое выбираем мы. Другим подобным примером может служить система дифференциальных уравнений
\begin{equation*}\frac{dx}{dt}=f(t,x(t),u(t)),\end{equation*}
где $t$ --- время, $u(t)$ --- управление.

Наложим некоторые геометрические ограничения на множества допустимых управлений: пусть $u^k \in \mathcal P(k)$ (или, аналогично, $u(t)\in \mathcal P(t)$). Например, таким множеством может быть многоугольник или шар. Эти ограничения происходят из реальной жизни: так, например, при управлении автомобилем, мы можем поворачивать руль не сколь угодно круто, а максимум на некоторый фиксированный угол в ту или иную сторону: $u(t)\in[-\alpha,\alpha]$.

Чтобы еще более сузить класс управлений, введем функционал качества $J(u(\cdot))$, который будет оценивать \glqqq пригодность\grqqq{} выбранного управления по некоторому критерию. Нас в дальнейшем будут интересовать задачи нахождения \emph{оптимального управления}, т.\,е. такого управления, на котором функционал качества достигает экстремума.

Приведем несколько примеров функционалов качества. В \emph{задаче Майера--Больца} функционал имеет вид 
\begin{equation}\label{IntroMayerBolz}
J(u(\cdot); t_0,x^0) = \int\limits_{t_0}^{t_1}L(t,x(t),u(t))dt + \varphi(t_1,x(t_1)).
\end{equation}
Задаче устремления функционала \eqref{IntroMayerBolz} к минимуму можно придать содержательную интерпретацию как минимизации затрачиваемого топлива, расходуемого объектом на перемещение, и задаче перевода объекта в заданную точку пространства. В дискретном случае функционал \eqref{IntroMayerBolz} принимает вид
\begin{equation*}
J(\{u_k\}_{k=k_0+1}^{k_1}; k_0,x^{k_0}) = \sum\limits_{k=k_0+1}^{k_1-1}L(k,x^k,u^k) + \varphi(K_1,x^{k_1}).
\end{equation*}
Другой пример функционала качества:
\begin{equation*}
J(u(\cdot); t_0,x^0) = \int\limits_{t_0}^{t_1}L(t,x(t),u(t))dt \to \inf\limits_{u(\cdot)}.
\end{equation*}
\section{Сведения из дифференциальных уравнений}
\subsection{Условия существования решений задачи Коши}
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
\begin{equation}\label{IntroLinSys1}
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}=A(t)x(t)+B(t)u(t)+f(t),\\
x(t_0) =x^0. 
\end{cases}
\end{equation}
Как известно, для локального существования и единственности решения этой системы достаточно непрерывности и липшецевости по $x$ правой части. Кроме того, справедлива следующая
\begin{theorem}
Рассмотрим уравнение
\begin{equation}\label{IntroSample1}
\dot{x} = f(x,t), 
\end{equation}
где $f(x,t)$ непрерывна в некоторой области $A$. Тогда для любой компактной области из $A$ существует решение уравнения \eqref{IntroSample1}, доходящее до её границы. 
\end{theorem}
\begin{note}
 Если управление в правой части \eqref{IntroLinSys1} есть лишь кусочно-непрерывная функция, то полученное решение лишь кусочно-дифференцируемая функция. В таком случае, задача сначала решается на одном промежутке непрерывности правой части, и значение решения в точке разрыва кладется начальным условием для задачи нахождения решения на примыкающем промежутке непрерывности.

В самом широком случае, когда правая часть \eqref{IntroLinSys1} всего лишь измерима, решение понимается в смысле решения по Каратеодори.
\end{note}
Следующий пример показывает, что в условиях теоремы может не иметь место продолжимость решения.
\begin{ex} Решением системы
$$\begin{cases}
	\dot{x} = x^2,\\
	x(0) = 1.	
  \end{cases}$$
является функция 
$$x(t) = \frac{1}{1-t},$$
которая является разрывной в точке $t=1$.
\end{ex}
Понятно, что единственной причиной непродолжимости может быть уход траекторий решений за конечное время на бесконечность. Что бы исключить подобные ситуации из рассмотрения, дополнительно потребуем, чтобы $\norm{x(t)}$ рос не быстрее известной функции, не уходящей на бесконечность за конечное время. Для этого оценим скорость роста $\norm{x(t)}^2$:
$$\frac{d}{dt}\left(\norm{x}^2\right) = \frac{d}{dt}\left(\scalar{x(t)}{x(t)}\right) = 2\scalar{x(t)} {f(t,x(t))}.$$
Для продолжимости решений вправо, потребуем, что бы 
\begin{equation}\label{IntroSubLin}
\scalar{x}{f(t,x)} \leqslant C_1||x||^2 +C_2, 
\end{equation}
где $C_1,C_2$ --- положительные константы. Обозначая $y=y(t)=\norm{x(t)}^2$, получаем:
$$\dot{y} \leqslant 2C_1y +2C_2 \Leftrightarrow \dot{y} -2C_1y \leqslant 2C_2.$$
Домножим обе части на $e^{-2C_1t}$:
$$e^{-2C_1t}\dot{y} - 2C_1e^{-2C_1t}y\leqslant 2C_2e^{-2C_1t};$$
$$\frac{d}{dt}\left(e^{-2C_1t}y\right) \leqslant2C_2e^{-2C_1t}.$$
Проинтегрируем это соотношение от $t_0$ до $t$:
$$e^{-2C_1t}y(t) - e^{-2C_1t_0}y(t_0)\leqslant2C_2\int\limits_{t_0}^{t}e^{-2C_1\tau}d\tau = \frac{C_2}{C_1}\left[e^{-2C_1t_0}-e^{-2C_1t}\right];$$
Окончательно,
$$y(t)\leqslant e^{2C_1(t-t_0)}y(t_0) + (e^{2C_1(t-t_0)}-1)\frac{C_2}{C_1},$$
что гарантирует продолжимость решения. Применяя неравенство Коши--Буняковского, условие \eqref{IntroSubLin} можно усилить и записать в виде
$$\norm{f(t,x)} \leqslant C_3\norm{x} + C_4,$$
где $C_3 > 0$ и $C_4 > 0$. Это условие, называемое \emph{условием сублинейного роста}, гарантирует продолжимость решений в обе стороны.
\subsection{Формула Коши для векторного линейного дифференциального уравнения}
Вернемся к рассмотрению задачи \eqref{IntroLinSys1}. Сначала рассмотрим однородное уравнение
\begin{equation}\label{IntroLinSys2}
 \dot{x} = A(t)x(t).
\end{equation}
\begin{df}
 Матрица $X(t,\tau) \in \real^{n \times n}$ называется фундаментальной матрицей для уравнения \eqref{IntroLinSys2}, если
 $$ \dfrac{dX(t,\tau)}{dt} = A(t)X(t,\tau),$$
 и, кроме того, $X(\tau,\tau) = E$ (где $E$ --- единичная матрица).
\end{df}
Пусть вектор-столбцы $x^1,x^2,\ldots,x^n$ --- фундаментальная система решений уравнения \eqref{IntroLinSys2}; составим из них матрицу $\Phi(t)$. При этом
$$\dfrac{d\Phi(t)}{dt}=A(t)\Phi(t).$$
Несложно показать, что $X(t,\tau)=\Phi(t)\Phi^{-1}(\tau)$. Таким образом, в случае задачи Коши
\begin{equation*}
 \begin{cases}
  \dot{x} = A(t)x(t),\\
  x(t_0)= x^0.
 \end{cases}
\end{equation*}
решение представимо в виде $x(t)=X(t,\tau)x^0$. Это выражение так же называется \textit{формулой Коши} для однородного уравнения.

Далее, рассмотрим неоднородное уравнение
\begin{equation}\label{IntroLinSys3}
 \begin{cases}
  \dot{x} = A(t)x(t) + f(t),\\
  x(t_0)= x^0.
 \end{cases}
\end{equation}
Будем искать решения в виде $x(t)=F(t)y(t)$, где $F(t)$ --- некоторая матрица. Тогда, дифференцируя и подставляя в \eqref{IntroLinSys3}, получим:
$$\dot{x}=\dot{F}(t)y(t)+F(t)\dot{y}(t) = A(t)F(t)y(t)+f(t),$$
$$\dot{y} = F^{-1}(t)(A(t)F(t)-\dot{F}(t))y(t) + F^{-1}(t)f(t).$$
Выбирая $F(t) = X(t,t_0)$, мы сводим систему \eqref{IntroLinSys3} к системе
\begin{equation*}
 \begin{cases}
  \dot{y} = X^{-1}(t,t_0)f(t),\\
  y(t_0)= x^0.
 \end{cases}
\end{equation*}
Таким образом, мы можем выписать в явном виде ответ:
$$y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X^{-1}(\tau,t_0)f(\tau)d\tau;$$
\begin{equation}\label{IntroVecAnswer}
x(t) = X(t,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t,t_0)X^{-1}(\tau,t_0)f(\tau)d\tau.
\end{equation}
Отметим, что $X(\tau,t_0)$ отображает $x^0$ в $x(\tau)$, а $X(t,\tau)$ отображает $x(\tau)$ в $x(t)$. Тогда $x(t) = X(t,\tau)X(\tau,t_0)x^0$. Но в силу единственности решения $x(t) = X(t,t_0)x^0$ имеем:
\begin{equation}\label{IntroHalfGroup}
X(t,\tau)X(\tau,t_0)=X(t,t_0).
\end{equation}
Соотношение \eqref{IntroHalfGroup} называется \emph{полугрупповым свойством} фундаментальной матрицы. В частности, при $t=t_0$, получаем $X(t_0,\tau)X(\tau,t_0) = E$. Это позволяет записать соотношение \eqref{IntroVecAnswer} в виде
$$x(t) = X(t,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t,\tau)f(\tau)d\tau,$$
называемом \emph{формулой Коши} для неоднородного уравнения.

Конкретно для задачи \eqref{IntroLinSys1}, формула Коши имеет вид
\begin{equation*}
x(t) = X(t,t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau + \int\limits_{t_0}^{t}X(t,\tau)f(\tau)d\tau.
\end{equation*} 
\begin{problem}
Пусть задано уравнение
$$\dot{x} = A(t)x(t) + f(t).$$
Какая должна быть матрица $A_1$ в линейной замене переменных, чтобы уравнение приняло вид
$$\dot{x} = B(t)x(t) + f_1(t),$$
где $f_1(t)$ --- заданная функция?
\end{problem}